Pemodelan Galton Board dengan Matrix

Long Weekend ini punya ide untuk memodelkan Galton Board dengan Matrix. Pastinya sudah ada yang melakukan pemodelan. Tetapi memodelkan sendiri itu sesuatu banget, apalagi Galton Board ini punya kesan tersendiri buat saya.

Insightnya

Untuk yang belum pernah Galton Board,  bisa lihat videonya di link ini Galton-Board.

Galton Board ini secara pribadi menggelitik saya, bagaimana biji-bijian yang dijatuhkan secara acak, walaupun kita tidak tahu ke mana biji-biji ini jatuh, tetapi secara keseluruhan kita bisa melihat distribusinya. Dan hal ini, sudah memberikan inspirasi cukup lama kepada saya, banyak hal tidak bisa kita kendalikan, tetapi secara garis besar bisa kita perkirakan hasilnya.

Tetapi belajar Matrix, memberikan saya insight lebih dalam lagi, saya bisa memperkirakan lebih akurat distribusinya, bahkan mensimulasikannya hanya dengan angka-angka saja, ini membuat saya semakin yakin matrix ini dapat membantu kita jauh lebih produktif. Misalkan memperkirakan impact incident, sales forecast, pemilihan lokasi toko, dll.

Tidak perlu lama berbasa-basi, yuk kita mulai saja pemodelannya.

Galton

Gambar 1.

Kita asumsikan kita hendak  membuat Galton Board dengan lebar 11 kolom. Bola-bola warna putih, adalah biji-bijian yang akan kita jatuhkan dalam Galton Board. Sedangkan bola berwarna hitam solid adalah pin-pin. Jika biji ini membentur pin ini, pilihannya jatuh ke kanan atau ke kiri, dengan kemungkinan sama besar. Sel yang ditempati pin tidak bisa di tempati oleh bola.

Dari model ini kita bisa membuat markov chain untuk masing-masing kolom ini.

Galton-markov

Jangan Ter-intimidasi dahulu, ini sederhana kok, kita coba sel 1 dan sel 2:

Sel 1: Bola berada di sel 1(Gambar 1, baris 2, kolom 1), state berikutnya dia hanya bisa di sel 2, karena dia berada di ujung kiri. Sedangkan di bawah sel 1 adalah pin, sehingga ia tidak bisa ke sel 1. Kemungkinannya adalah ke sel 2 adalah 1.

Sel 2 : Ketika bola berada di sel 2 (Gambar 1, baris 1, kolom 2), state berikutnya dia hanya bisa ke sel 1 atau sel 3, sel 2 ditempatin pin, sedangkan sel lain terlalu jauh. Kemungkinan ke sel 1 adalah 0.5 dan ke sel 3 adalah 0.5.

Sisanya sama saja, tinggal mengulang-ulang saja, sederhana kan. Tahap berikutnya adalah memodelkannya menjadi matrix dari Markov Chain di atas.

Sel 1 : Sel 1 hanya bisa di capai dari Sel 2 dengan kemungkinan 0.5, sehingga pada baris satu dan kolom 2 kita bubuhkan 0.5

Sel 2 : Sel 2 hanya bisa di capai dari Sel 1 dengan kemungkinan 1 dan dari sel 3 dengan kemungkinan 0.5. Sehingga pada baris 2 kolom 1 kita bubuhkan 1 dan pada kolom 3 kita bubuhkan 0.5

Sel 3 : Sel 3 hanya bisa di capai dari sel 2 dengan kemungkinan 0.5 dan dari sel 4 dengan kemungkinan 0.5. Sehingga pada baris 3 dan kolom 2 dan 4 kita bubuhkan 0.5.

Demikian seterusnya, sehingga kita memiliki matriks transisi sebagai berikut.

Matrix-galton

Gambar 3, Matrix Transisi Galton Board.

Kita Asumsikan bola-bola ini kita masukkan ke dalam Galton board pada kolom 6 sebanyak 1000 bola. sehingga kita modelkan sebagai vektor:

input kolom

Operasi berikutnya cukup Perkalian Matrix dengan Vektor yang sederhana, untuk perhitungan ini saya gunakan tools octave, seperti matlab tapi gratis.

Berikut ini adalah formula persebaran galton board dari baris 1 ke baris 2.

Galton-board-2ndstep

Mungkin ada yang bertanya-tanya, kenapa di tengah justru kosong, saya juga bingung awalnya. Tetapi itulah ajaibnya matematika, dia tetap konsisten. Di tengah adalah posisi pin, yang tidak mungkin di tempati oleh bola-bola.

Jika kita memiliki galton board yang memiliki 6 step, formulanya juga sederhana, kita kuadratkan saja 6x Transition Matrix.

six-step-galton

Mulai kelihatan kan persebarannya.

Agar lebih seru, saya coba matrixnya saya perbesar menjadi 51 kolom, dan operasinya 50x (50 baris Galton Board), karena kan komputer yang mengerjakan. Saya coba hapus juga hasil kolom yang berisikan pin.  Hasilnya distribusinya mirip dengan hasil di video.

galton-distribution

Matrix memungkinkan kita bekerja secara holistik, bekerja secara keseluruhan, dengan tentunya lebih mudah.

Have a nice weekend.

 

 

 

 

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s

Create a free website or blog at WordPress.com.

Up ↑

%d bloggers like this: