Bilangan Imajiner

euler-identity

euler identity

Bilangan imajiner ini melengkapai sistem bilangan yang kita miliki. Sedikit ajaib, tetapi penting untuk dunia. Sejarah bilangan dimulai dengan bilangan bulat positif, karena ini bilangan yang paling nyata. Kemudian muncul bilangan negatif, ini sudah lebih abstrak, tapi cukup masuk akal. Tetapi manusia masih kehilangan angka nol, karena cukup sulit juga mengerti angka yang artinya tidak ada. Tetapi akhirnya manusia memiliki angka nol. Banyak sekali permasalahan yang bisa di selesaikan oleh angka nol. Bayangkan hidup kita tanpa angka nol.

Sejarah terus bergulir, manusia pun mulai mengenal pecahan, 1/2, 1/3 dst. Ini pun sangat penting, kemudian ini pun belum cukup Hipasus menemukan bahwa akar 2 ini bukanlah bilangan pecahan atau bilangan rasional, maka munculah bilangan irasional. Peradaban manusia pun tumbuh dengan cepat dengan angka-angka ini, kita mlihat kebudayaan Yunani, Romawi, Arab, hingga renaisans yang tidak terlepas dari penggunaan angka-angka ini.

Dan seterusnya manusia hidup tanpa bilangan imajiner selama bertahun-tahun, tidak ada masalah yang berarti. Hidup pun terus berjalan

Kemudian di sekitar abad ke-16 ada seseorang yang memiliki ide bilangan imajiner dimana i2=1. Akan tetapi bilangan imajiner ini mendapatkan penolakan di masyarakan abad 18, seperti kita saat ini, menganggap bilangan imajiner ini bilangan yang tidak berguna dan hanya menyusahkan hidup kita dengan matematika. Ahli-ahli saat itu mengabaikan bilangan imajiner ini.

Perlu orang hebat seperti Euler untuk menyadari peran bilangan imajiner ini. Dengan formula Euler, beliau menemukan hubungan antara bilangan e (2.718..) dengan bilangan imajiner dan trigonometri. Salah satu formula paling penting di dunia matematika. Kira-kira bentuk formulanya seperti ini:

eix = cos(x) + i sin(x)

Jika melihat bentuknya kita akan tercengang, bagaimana mungkin 5 notasi aneh, cos, sin, x, e dan i berada pada satu persamaan. Dan bagaimana membuktikannya?

Jika anda merasa aneh, jangan kuatir kami di Teknik Elektro jiwa, raga dan harga diri kami habis akibat persamaan ini. Putera-puteri terbaik bangsa dengan jiwa yang murni di hantam oleh turunan persamaan ini melalui kuliah medan dan sistem kendali. Beberapa dari kami tidak bertahan, dan mayoritas dari kami masih bersyukur bisa melewati cobaan ini, dan sampai sekarang masih tidak percaya bisa melaluinya. Mungkin ini juga penyebab lulusan Elektro banyak yang masuk ke IT, walaupun sulit masih lebih manusiawi, seperti oase di padang pasir. Atau bahkan ke perbankan dan keuangan, seperti di taman firdaus.

Tetapi sisi positifnya, dunia matematika dan ilmu pengetahuan pun memiliki amunisi baru. Formula Euler ini menjadi rantai yang hilang antara kalkulus, aljabar dan trigonometri, menjadi jembatan antara berbagai kekuatan besar matematika. Bilangan Imajiner ini melengkapi himpunan bilangan yang dimiliki matematika. Bilangan imajiner ini seperti sejarah planet uranus, dicurigai dahulu keberadaanya karena ada anomaly orbit planet, baru kemudian ditemukan.

Bilangan ini ditemukan tidak seperti bilangan lainnya, dia ditemukan secara tidak langsung, melalui pendekatan teori limit. Sehingga kita akan selalu terheran-heran dengan relasi ini. Tetapi itulah hebatnya formula Euler, meskipun ditemukan dengan teori limit, tetapi hasil yang konsisten di dapatkan melalui teori deret dan teori yang lainnya. Ahli matematika yang biasanya tidak mudah percaya, bahkan meminta bukti terhadap sesuatu yang sudah jelas pun menerimanya. Seolah mengukuhkan formula Euler pada tempat khusus di dunia matematika, suatu kebenaran layaknya hukum Phythagoras.

Dunia tidak pernah sama lagi sejak kemunculan bilangan imajiner dan Formula Euler. Muncullah Teori gelombang, untuk mempelajari getaran dawai musik, yang ternyata menjadi landasan penjelasan fenomena gelombang dan getaran. Fourier Transform yang menjebatani antara domain waktu dan domain frekuensi, yang memungkinkan manusia untuk melihat dunia dengan cara yang sama sekali baru, manifestasinya adalah kompresi JPEG yang sering kita gunakan. Maxwell dengan teori gelombang elektromagnetik yang merevolusi dunia komunikasi, Sistem kendali yang memungkinkan pembuatan mesin yang lebih akurat dan efisien dan masih banyak lagi di era fisika modern.

Sulit sekali membayangkan peradaban modern tanpa kehadiran angka i, tanpaknya lanskap dunia akan berbeda sangat jauh.

Mungkin inilah mengapa ia disebut bilangan imajiner, bilangan yang dihasilkan oleh imajinasi dan digunakan untuk memfasilitasi imajinasi kita yang seringkali sangat terbatas terhadap angka.

Jadi ketika seseorang yang lebih muda, bertanya, kita bisa menjelaskan bahwa bilangan imajiner ini nyata.

Bilangan Perubahan

Perubahan adalah fenomena sehari-hari yang kita hadapi. Bahkan ada yang mengatakan bahwa sesuatu yang tetap adalah perubahan itu sendiri. Sehingga sangat menarik jika kita bisa sedikit memahami karakteristik perubahan itu, apalagi jika sudah dalam bentuk angka, kita bahkan dapat mengendalikan perubahan.

Pembahasan ini akan mempertemukan kita pada salah satu bilangan ajaib, yang mistik yang dalam matematika sering disebut dengan bilangan transedental. Trasedental sendiri dalam arti umumnya adalah bersifat spiritual atau non fisik. Bilangan tersebut adalah bilangan mistis untuk kita kaum awam yaitu e. Benar bilangan e yang kita tidak tahu gunanya dan selalu ada di kakulator scientific, yang kalau di pencet muncul angka 2.718….

Oke, segala sesuatu adalah perubahan, apakah bisa diberi satu contoh saja yang riil? Kita beri satu contoh ya. Misalnya kita ber-investasi pada suatu perangkat investasi, yang memberikan imbal balik 100% selama setahun, dari 1 jt menjadi 2 jt dalam setahun. Tapi bagaimana jika kita minta bagi hasilnya setiap 6 bulan masing-masing 50%, ternyata di 6 bulan pertama kita mendapatkan 500k dan di 6 bulan kedua kita medapatkan 750k. Secara total kita mendapatkan 2.25x dari investasi yang sama. Wah bagaimana kalau demikian kita bagi per 3 bulan saja, atau 1 bulan, atau tiap hari atau bahkan tiap detik? Bisa jadi investasi kita bernilai tak terhingga. Pertanyaan yang sama sudah menggelitik Bapak Jacob Bernoulli, ternyata imbal baliknya, bukan tak terhingga, tapi mendekati 2.718.. yang kita sebut dengan e yang mistis tadi.

Investasi adalah salah satu contoh perubahan, contoh lainnya adalah lift, KRL,pengalaman, tabungan emosi, wabah, kecepatan cpu, harga minyak, harga cabe. Terus apa hubungannya dengan bilangan e?

Dalam matematika perubahan ini dimodelkan (asal tahu saja) oleh dy/dt artinya perubahan y terhadap waktu. Contoh klasik adalah kecepatan adalah perubahan posisi(s) terhadap waktu atau ds/dt. Contoh lain yang sering digunakan oleh manajemen adalah akselerasi, dalam matematika akselerasi adalah perubahan kecepatan terhadap waktu, atau dv/dt. Jadi akselerasi adalah turunan kedua dari s, a = d²s/dt². Jangan stress dulu ini bukan kuliah kalkulus kok, Jadi ini tidak wajib. Jadi apa hubungannya dengan harga cabe? Atau investasi saya? Kita mulai dengan yang sederhana dulu seperti investasi.

Menariknya, persamaan diferensial yang merupakan model dinamis seperti contoh diatas, solusi homogennya selalu kombinasi est dimana s ini dapat berupa bilangan riil maupun imajiner. misalnya e 0.5t . Artinya segala hal yang bersifat perubahan sifatnya selalu eksponensial, entah itu eksponesial naik, eksponensial menurun atau exponensial dengan umpan balik, hanya berbeda pada kecepatan perubahannya, atau istilah kerennya konstanta waktu. Tentu angkanya bisa bermacam-macam dan turunannya bisa sampai orde 3 atau orde 4 atau lebih. Tapi untuk pembahasan kita, kita sederhanakan.

Berikut ini adalah contoh-contoh kurva kombinasi berbagai eksponen. Eksponen naik, eksponen turun dan eksponen dengan feedback (sumber wikipedia)

Contohnya kalau kita naik KRL kecepatannya naik eksponensial hingga steady state, begitu pula sebaliknya. Kipas angin, lift, epidemi, viral, ayunan, gelombang radio, pergerakan planet, kenaikan suhu kamar, peredaran narkoba, pembelahan bakteri dan segala sesuatu yang menyimpan energi dan informasi berubah secara exponensial, dengan model seperti gambar di atas.

Dan dari karakteristik inilah para insinyur merancang sistem yang lebih akurat, seperti lift, frekuensi radio, KRL perlambatannya lebih nyaman melalu mekanisme umpan balik.

Kemudian apakah yang bisa kita pelajari dari persamaan diferensial dan solusinya yang bersifat eksponensial?

  1. Bilangan e di kalkulator ini ternyata ada gunanya, inti dari perubahan, perannya seperti angka 1 dalam aljabar.
  2. Kita harus sabar, karena namanya perubahan tidak bisa instan, bahkan pertumbuhan eksponensial pun awalnya perlahan.
  3. Easy come easy go, karena eksponensial naik kemungkinan besar sistem yang sama, eksponensial turun.
  4. Kalau kita tidak membaik artinya kita memburuk dan itu secara eksponensial.
  5. Kalau kadang-kadang mengalami kemunduran atau kemacetan tidak apa-apa, yang penting sehari-hari kita konsisten membaik.

Blog at WordPress.com.

Up ↑